Według legendy młody Galileusz siedział w katedrze w Pizie i zamiast słuchać kazania, obserwował kołyszący się żyrandol. Mierząc czas jego wahnięć własnym pulsem, zauważył, że każde trwa tyle samo, niezależnie od tego, czy lampa kołysze się szeroko, czy ledwie drga. Dziś to samo odkrycie możesz powtórzyć w domu, a przy okazji zrobić coś więcej: z prostej nitki z ciężarkiem wyliczyć przyspieszenie, z jakim Ziemia przyciąga wszystkie ciała.

Co nam będzie potrzebne?

  • mocna, cienka nitka lub żyłka o długości ok. 1,5 m
  • niewielki, ciężki przedmiot, np. nakrętka, kulka z plasteliny, kluczyk lub ołowiany ciężarek wędkarski
  • stoper (może być w smartfonie)
  • miarka lub linijka
  • statyw, haczyk, szafka lub krawędź stołu, do której przymocujesz nitkę taśmą
  • kartka i długopis do zapisywania wyników
  • kalkulator

Jak wykonać doświadczenie?

Krok 1: Zawieszenie wahadła. Przywiąż ciężarek do jednego końca nitki, a drugi koniec zamocuj mocno do krawędzi stołu lub statywu, tak aby wahadło mogło swobodnie zwisać i nie dotykało niczego po drodze. Zmierz długość L od punktu zawieszenia do środka ciężarka, a nie do jego dolnej krawędzi. Dla nakrętki różnica wynosi zaledwie kilka milimetrów, ale przy kulce z plasteliny warto ją uwzględnić.

Krok 2: Wychylenie i puszczenie. Odchyl ciężarek od pionu o niewielki kąt, nie większy niż około 15°, czyli przy długości nitki 1 m o mniej więcej 25 cm w bok. Puść go bez nadawania prędkości, tak aby wahadło kołysało się w jednej płaszczyźnie, a nie zataczało elips. Nie popychaj ciężarka, bo to zaburza ruch na początku pomiaru.

Krok 3: Pomiar czasu. Nie mierz pojedynczego wahnięcia, bo twój refleks (ok. 0,2 s) zafałszowałby wynik. Włącz stoper, gdy ciężarek mija najniższy punkt, i zatrzymaj go po 20 pełnych wahnięciach, czyli po 20 powrotach do punktu wyjścia. Podziel zmierzony czas przez 20, a otrzymasz okres T, czyli czas jednego pełnego wahnięcia tam i z powrotem. Powtórz pomiar trzy razy i uśrednij wyniki.

Krok 4: Obliczenie przyspieszenia. Podstaw dane do wzoru g = 4π² · L / T². Dla L = 1,00 m okres powinien wynieść około 2,0 s, a wynik: około 9,8 m/s². Jeśli odchyłka jest większa niż kilka procent, sprawdź, czy nitka się nie rozciąga i czy dobrze policzyłeś wahnięcia.

Krok 5: Różne długości i masy. Powtórz doświadczenie dla długości 0,25 m, 0,5 m i 1 m. Potem zamień ciężarek na dwa razy cięższy i zmierz okres jeszcze raz. Wyniki zapisz w tabeli i porównaj.

Wyjaśnienie naukowe

Wahadło matematyczne to wyidealizowany model: punktowa masa zawieszona na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Nasz ciężarek na nitce jest dobrym przybliżeniem tego modelu. W najniższym punkcie ciężar ciała jest równoważony przez naprężenie nici, ale gdy wychylimy wahadło, składowa siły ciężkości styczna do toru ruchu próbuje je przywrócić do pionu. Dla małych kątów ta siła jest niemal proporcjonalna do wychylenia, a ruch z taką siłą przywracającą nazywamy harmonicznym. Z równań ruchu wynika wzór T = 2π√(L/g): okres zależy tylko od długości nici i od przyspieszenia ziemskiego, a od masy ani od amplitudy praktycznie nie.

Niezależność od masy ma proste uzasadnienie: cięższy ciężarek jest mocniej przyciągany przez Ziemię, ale ma też proporcjonalnie większą bezwładność, więc te efekty się znoszą. To dokładnie ta sama zasada, dzięki której ciała o różnych masach spadają równie szybko, a o bezwładności piszemy też w doświadczeniu moneta, kartka i szklanka . Jeśli twój wynik dla cięższego ciężarka lekko się różni, to prawdopodobnie przez opór powietrza i błędy pomiaru, a nie przez prawo fizyki. Zależność od długości jest za to wyraźna: okres rośnie jak pierwiastek z L, więc aby podwoić okres, trzeba wydłużyć nitkę czterokrotnie. Stąd wahadło o długości około 0,994 m ma okres bliski 2 s i dawniej nazywano je wahadłem sekundowym, bo każde wychylenie w jedną stronę trwa równo sekundę.

Wahadło odegrało w historii nauki ogromną rolę. Christiaan Huygens zbudował w 1656 roku pierwszy zegar wahadłowy, który błądził o kilkanaście sekund na dobę zamiast kilkunastu minut, jak wcześniejsze mechanizmy. W 1851 roku Léon Foucault zawiesił w paryskim Panteonie 67-metrowe wahadło i pokazał, że jego płaszczyzna drgań powoli się obraca, co było bezpośrednim dowodem obrotu Ziemi. Przyspieszenie ziemskie nie jest wszędzie takie samo: wynosi ok. 9,78 m/s² na równiku i ok. 9,83 m/s² na biegunach, bo Ziemia jest spłaszczona i wiruje, a w górach jest nieco mniejsze niż na poziomie morza. Geofizycy używają zaawansowanych grawimetrów do szukania złóż rud i ropy, a zasada ruchu drgającego jest też podstawą działania urządzeń takich jak sejsmograf . Inne zjawisko, w którym energia przechodzi między ciałami wiszącymi na nitkach, możesz zobaczyć w wahadle Newtona .

Warianty

Zależność od amplitudy. Zmierz okres dla wychyleń 5°, 15°, 30° i 60°. Przy małych kątach wynik jest praktycznie taki sam, ale przy 60° okres wydłuża się o ok. 7%, co pokazuje, że wzór T = 2π√(L/g) jest przybliżeniem dla małych wychyleń.

Wykres T² od L. Zmierz okres dla pięciu długości nitki, od 0,2 m do 1,2 m, a potem narysuj wykres, na którym oś pozioma to L, a pionowa to T². Punkty powinny układać się wzdłuż prostej, a z jej nachylenia (równego 4π²/g) możesz wyznaczyć g dokładniej niż z pojedynczego pomiaru, bo uśredniasz błędy.

Wahadło na tablicy i w smartfonie. Użyj aplikacji phyphox lub podobnej, która mierzy przyspieszenie, i przymocuj telefon do końca nici (w osłonie, najlepiej nisko nad miękkim podłożem). Aplikacja zarejestruje okresowe zmiany przyspieszenia i pozwoli porównać wynik z odczytem ze stopera.

Często zadawane pytania

Dlaczego mój wynik g różni się od 9,81 m/s²? Najczęstsze przyczyny to źle zmierzona długość (pamiętaj o odległości do środka ciężarka), zbyt duża amplituda i błąd stopera. Nitka, która się rozciąga lub ślizga w miejscu zawieszenia, też wydłuża okres. Wynik w granicach 9,5–10 m/s² jest w domowych warunkach dobry, a poprawisz go, mierząc więcej wahnięć.

Czy cięższe wahadło zawsze kołysze się tak samo? W idealnych warunkach tak, bo masa nie występuje we wzorze na okres. W praktyce bardzo lekki ciężarek, np. kulka z papieru, jest silniej hamowany przez opór powietrza i szybciej przestaje się wahać. Okres nadal jest niemal ten sam, ale amplituda maleje szybciej, więc do doświadczenia lepiej wybrać coś małego, ale ciężkiego.

Czy na Księżycu wahadło kołysałoby się inaczej? Tak, i to wyraźnie. Przyspieszenie na Księżycu wynosi ok. 1,62 m/s², czyli sześć razy mniej niż na Ziemi, więc okres tego samego wahadła byłby około 2,5 raza dłuższy. Dlatego zegar wahadłowy zabrany na Księżyc chodziłby bardzo wolno.